2026-10-27 05:14:18

排列组合计算器

输入数值元素总数 (n)选取个数 (r)0 到 1,000 之间的整数。

计算类型排列 P(n,r)有序，不重复720组合 C(n,r)无序，不重复120可重复排列有序，允许重复1,000可重复组合无序，允许重复220环形排列全部 n 个元素的环形排列362,880结果复制结果排列 P(n,r)

720

公式P(n, r) = n! / (n − r)!

逐步推导P(10, 3) = 10! / (10 − 3)!= 10! / 7!= 10 × 9 × 8= 720Previous百分比计算器NextpH 计算器关于排列组合计算器使用方法输入 n（元素总数）和 r（要选取或排列的个数）选择计算类型：排列、组合、可重复或不可重复，或环形排列输入时结果和逐步公式推导会自动更新所有计算类型的结果同时显示，方便并排比较常见用途统计有序安排：密码、序列、比赛名次统计无序选取：彩票开奖、组队、扑克手牌需要枚举样本空间的概率问题数学、计算机科学和统计学课程中的组合数学常见问题什么是排列？排列是对象的有序安排。从 n 个不同元素中取出 r 个并考虑顺序时，排列数为 P(n, r) = n! / (n − r)!。例如，{A, B, C} 的 3 字母排列有 ABC、ACB、BAC、BCA、CAB 和 CBA，共 6 种互不相同的排列。什么是组合？组合是不考虑顺序的选取。从 n 个元素中取出 r 个而不计排列次序时，组合数为 C(n, r) = n! / [r! × (n − r)!]。例如，从 {A, B, C} 中取 2 个得到 {A,B}、{A,C}、{B,C}，只有 3 种组合，而排列有 6 种。排列和组合的核心区别是什么？核心区别在于顺序是否重要。在排列中，ABC 与 CBA 算作不同的安排；在组合中，{A, B, C} 无论顺序如何只算一次。经验法则：序列、密码和名次用排列；挑选、组队和子集用组合。排列数公式 P(n, r) 是什么？P(n, r) = n! / (n − r)!，其中 n 为元素总数，r 为要排列的个数。它等于连乘积 n × (n−1) × (n−2) × … × (n−r+1)。例如，P(5, 3) = 5 × 4 × 3 = 60。组合数公式 C(n, r) 是什么？C(n, r) = n! / [r! × (n − r)!]，也读作「从 n 个中选 r 个」(ₙCᵣ)。例如，C(5, 3) = 5! / (3! × 2!) = 120 / 12 = 10。对于相同的 n 和 r，组合数总是小于或等于排列数，因为 C(n,r) = P(n,r) / r!。什么是可重复排列？允许重复时（同一元素可出现多次），从 n 个元素中取 r 个的有序安排数为 nʳ。例如，用数字 0–9 组成的 4 位 PIN 码共有 10⁴ = 10,000 个，因为 4 个位置中每一位都可以是 10 个数字中的任意一个。什么是可重复组合？可重复组合（又称多重集系数）统计同一元素可被多次选取的无序选法。公式为 C(n+r−1, r) = (n+r−1)! / [r! × (n−1)!]。例如，从 3 种冰淇淋口味中选 2 球且允许重复，共有 C(4, 2) = 6 种组合。什么是环形排列？环形排列统计将 n 个对象排成一圈的不同方式数。由于同一排列经旋转后视为相同，计数为 (n − 1)! 而非 n!。例如，5 人围坐圆桌共有 (5 − 1)! = 24 种不同坐法。什么是 n!（阶乘）？非负整数 n 的阶乘记作 n!，是从 1 到 n 所有正整数的乘积：n! = n × (n−1) × … × 2 × 1。按照约定，0! = 1。阶乘增长极快——20! ≈ 2.4 × 10¹⁸。本计算器使用 JavaScript BigInt，对较大的 n 也能给出精确结果。为什么有些计数问题中顺序很重要？顺序是否重要取决于问题情境。对于密码锁，1-2-3 与 3-2-1 是不同的序列——顺序重要（排列）。从 10 人中选 3 人组成委员会，{张三, 李四, 王五} 无论选取顺序如何都是同一个委员会——顺序不重要（组合）。正确判断情境是解决任何计数问题的第一步。排列和组合在现实中有哪些常见例子？排列：书架上摆放图书、比赛名次排序、生成密码、打乱播放列表。组合：选彩票号码、组建运动队、抽一手扑克牌、选出委员会。可重复排列：PIN 码、车牌号、DNA 序列。可重复组合：从菜单点菜、购买多件同类商品。本计算器支持的 n 和 r 最大是多少？n 和 r 都可以是 0 到 1,000 之间的任意整数。所有计数均采用精确整数（BigInt）运算，因此结果远超普通浮点计算器 170! 的上限仍保持精确。超过 15 位的结果以科学计数法显示，下方列出完整精确值，复制时也会一并包含。为什么提示 r 不能大于 n？在不允许重复时，选取或排列的元素个数不能超过已有的元素个数，因此 P(n, r) 和 C(n, r) 要求 r ≤ n。如果元素可以重复使用，请切换到可重复排列或可重复组合，它们接受任意 r。环形排列完全不使用 r，而是排列全部 n 个元素。我的数据会被发送到服务器吗？不会。所有计算都在您的浏览器本地实时进行。您输入的任何内容都不会被上传或保存，页面加载完成后即使离线也能继续使用。