2025-12-06 23:51:13

孪生素数

素数在自然数中的分布是不规则的。欧几里得在他的著作《几何原本》中首次证明了素数有无穷多个。十九世纪后，素数定理的证明给出了素数在自然数中大致的分布情况。根据素数定理，在前

N

{\displaystyle N}

个自然数里，素数的个数大约是

N

ln

⁡

N

{\displaystyle {\frac {N}{\ln N}}}

。也就是说前

N

{\displaystyle N}

个自然数里，素数的比例是

1

ln

⁡

N

{\displaystyle {\frac {1}{\ln N}}}

。因此，随着

N

{\displaystyle N}

增大，前

N

{\displaystyle N}

个自然数里，素数的比例会越来越小。事实上，给定一个自然数

n

>

1

{\displaystyle n>1}

，那么连续的

n

{\displaystyle n}

个自然数：

(

n

+

1

)

!

+

2

,

(

n

+

1

)

!

+

3

,

⋯

(

n

+

1

)

!

+

(

n

+

1

)

{\displaystyle (n+1)!+2,(n+1)!+3,\cdots (n+1)!+(n+1)}

都是合数[1]。

是否越大的素数，两两之间就隔得越远呢？实际上不然。在某些时候，两个连续的素数之间只相差2。这样的素数对就是孪生素数。

以下列出了最小的35对孪生素数（1000以内的孪生素数）（ A001359及 A006512)：

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109),

(137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313),

(347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661),

(809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

即使是大的素数，也有可能成为孪生素数。通过穷举式的计算发现：在小于

10

15

{\displaystyle 10^{15}}

的29,844,570,422,669个素数中，有1,177,209,242,304对孪生素数，占了3.94%[1]。而且这些孪生素数并没有表现出停止在某一个上限的趋势。

截至2016年9月为止，已知最大的孪生素数为

2

996

863

034

895

×

2

1

290

000

±

1

{\displaystyle 2\ 996\ 863\ 034\ 895\times 2^{1\ 290\ 000}\pm 1}

[2][3]，此数有388342位。

素数定理说明了素数在趋于无穷大时变得稀少的趋势。而孪生素数，与素数一样，也有相同的趋势，并且这种趋势比素数更为明显。直觉上可以作如下的估计：在前

N

{\displaystyle N}

个自然数里找一个数，它是素数的可能性大约是

1

ln

⁡

N

{\displaystyle {\frac {1}{\ln N}}}

；所以在前

N

{\displaystyle N}

个自然数里找一个数

p

{\displaystyle p}

，

p

{\displaystyle p}

和

p

+

2

{\displaystyle p+2}

都是素数的可能性大约是

1

ln

2

⁡

N

{\displaystyle {\frac {1}{\ln ^{2}N}}}

。当然，这种推算只能是直觉上的猜测，而不是严谨的证明，因为素数的排列是已知的，而不是概率上的事件[1]。