2025-05-13 19:45:54

#【数学】【数论】几个特殊的数

素数

大于1且不被其他整数（除了1和其本身）整除的整数。

质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。

示例：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,39,41...

回文数

“回文”是指正读反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等。在数学中也有这样一类数字有这样的特征，成为回文数（palindrome number）。

设n是一任意自然数。若将n的各位数字反向排列所得自然数n1与n相等，则称n为一回文数。例如，若n=1234321，则称n为一回文数。

注意：

1.偶数个的数字也有回文数124421

2.小数没有回文数

示例：

1千以内的回文数 在自然数中，最小的回文数是0，其次是

1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,22,33,44,55,66,77,88,99,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,202,212,222,232,242,252,262,272,282,292,303,313,323,333,343,353,363,373,383,393,404,414,424,434,444,454,464,474,484,494,

505,515,525,535,545,555,565,575,585,595,606,616,626,636,646,656,666,676,686,696,707,717,727,737,747,757,767,777,787,797,808,818,828,838,848,858,868,878,888,898,909,919,929,939,949,959,969,979,989,999.

人们迄今未能找到自然数(除0和1)的五次方，以及更高次幂的回文数。于是数学家们猜想：不存在n^k(n≥2,k≥5;n、k均是自然数)形式的回文数。

在电子计算器的实践中，还发现了一桩趣事：任何一个自然数与它的倒序数相加，所得的和再与和的倒序数相加，……如此反复进行下去，经过有限次步骤后，最后必定能得到一个回文数。

这也仅仅是个猜想，因为有些数并不“驯服”。比如说196这个数，按照上述变换规则重复了数十万次，仍未得到回文数。但是人们既不能肯定运算下去永远得不到回文数，也不知道需要再运算多少步才能最终得到回文数。

自幂数

自幂数是指一个 n 位数，它的每个位上的数字的 n 次幂之和等于它本身。

各位数的自幂数名字：

一位自幂数：独身数

两位自幂数：（没有）

三位自幂数：水仙花数

四位自幂数：四叶玫瑰数

五位自幂数：五角星数

六位自幂数：六合数

七位自幂数：北斗七星数

八位自幂数：八仙数

九位自幂数：九九重阳数

十位自幂数：十全十美数

示例：

5: 93084

5: 92727

5: 54748

6: 548834

7: 9800817

7: 4210818

7: 1741725

7: 9926315

8: 24678050

8: 24678051

8: 88593477

9: 146511208

9: 912985153

9: 472335975

9: 534494836

10: 4679307774

11: 32164049650

11:40028394225

11: 42678290603

11: 49388550606

11: 32164049651

11: 94204591914

11: 44708635679

11: 82693916578

14: 28116440335967

16: 4338281769391370

16: 4338281769391371

17: 21897142587612075

17: 35641594208964132

17: 35875699062250035

19: 1517841543307505039

19: 3289582984443187032

19: 4929273885928088826

19: 4498128791164624869

20: 63105425988599693916

21: 449177399146038697307

21: 128468643043731391252

23: 27907865009977052567814

23: 35452590104031691935943

23: 27879694893054074471405

23: 21887696841122916288858

24: 174088005938065293023722

24: 188451485447897896036875

(为环保起见，24位以上的自幂数略)

最大的自幂数有39位。十进制自然数中的所有水仙花数共有88个。

水仙花数

水仙花数（Narcissistic number）也被称为超完全数字不变数（pluperfect digital invariant, PPDI）、自恋数、自幂数、阿姆斯壮数或阿姆斯特朗数（Armstrong number）

水仙花数是指一个 3 位数，它的每个位上的数字的 3次幂之和等于它本身

示例：1³ + 5³+ 3³ = 153，则153 为水仙花数；

完数

完全数（或称之为“完美数”）

完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为“完全数”。

示例：第一个完全数是6，第二个完全数是28，第三个完全数是496，后面的完全数还有8128、33550336等等。

完全平方数

完全立方数

最小公倍数

最大公约数

公因数

同构数

正整数n若是它平方数的尾部，则称n为同构数。

示例：6是其平方数36的尾部，76是其平方数5776的尾部，6与76都是同构数。

首先确定1-9有多少可以作同构数，不难发现只有5，6。

0结尾的数是不能为同构数的，如10，200，等。

所以10-99中的同构数只可能是5，6结尾的数

进一步发现只有25，76是同构数

所以100-999中的同构数的结尾只能是25，76

计算发现3位数中只有625，376

所以答案为6个,分别为5,6,25,76,625,376

亲密素数/亲密素数对

若两个连续自然数的乘积减去1是素数,则称这个两个连续自然数是亲密数对,该素数是亲密素数.

示例：

2*3-1=5是素数,所以2和3是亲密数对,5是亲密素数.

幸运数

幸运数是经由类似埃拉托斯特尼筛法〔一种用删去法检定质数的算法〕的算法后留下的整数集合，是在1955年波兰数学家乌拉姆提出。幸运数的分布情形也可用素数定理来分析。

示例：

由一组由 1 开始的数列为例： 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,先将数列中的第 2n 个数（偶数）删除，只留下奇数： 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 剩下数形成一数列，此数列的第二项为 3，因此将新数列的第 3n 个数删除： 1, 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25,新数列的第三项为 7，因此将新数列的第 7n 个数删除： 1, 3, 13, 15, 21, 25,若一直重复上述的步骤，最后剩下的数就是幸运数

（OEIS中的数列A00959）: 1, 3, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ...

幸运数有部份特性和质数相同，如幸运数的分布情形也可用素数定理来分析，而哥德巴赫猜想也有以幸运数为基准的版本。 但目前不确定是否存在无限个幸运质数〔lucky prime〕： 1000以内的幸运质数：3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73, 79, 127, 151, 163, 193, 211,223,241,283,307,331,349,367,409,421,433,463,487,541,577,601,613,619,631,643,673,727,739,769,787,823,883,937,991,997...

幸运素数

既是幸运数，也是素数的数。

双胞胎数

若两个素数之差为2，则称这两个素数为双胞胎数。

示例：3,5 5,7 11,13

梅森尼数

符合2^n-1的素数称之为梅森尼数。

法国数学家梅森尼对这类形如2^n-1的素数特别感兴趣，做过很多有意义的工作，后人把此类数命名为梅森尼数。 已经证明了，如果2^n-1是素数，则幂指数n必须是素数，

然而，反过来并不对，当n是素数时，2^n-1不一定是素数。

例如，人们已经找出2^11-1是一个合数，23可以除尽它，2^23-1是一个合数，47可以除尽它。

源码如下待验证：

import math

def prime(m):

count=0

for i in range(2,int(math.sqrt(m))+1):

if m%i==0:

count=1

if count==0:

return True

else:

return False

for j in range(2,50):

if prime(2**j-1) and prime(j):

print j,2**j-1

弦数

若一个数的平方等于另外两个数的平和，则这个正整数称之为弦数

示例： 3²+4² = 5² 则5被称之为弦数

自然数对 若两个数的之和 和之差都是个平方数，则这两个数为自然数对；

示例：（8,17），这两个数的之和为25, 25 = 5² ； 这两个数之差为9, 9=3²，那么（8,17）则被称之为自然数对

四位双平方数

若一个四位正整数是另一个正整数的平方数，且这个数字的各位数相加也是平方数，则这个数是“四位双平方数”

示例：7396 = 86² ，且7+3+9+6 =25 = 5² ，那么7396就被称之为四位双平方数

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参考：

1. 百度百科

2.其他blog

备注：

初次编辑时间：2019年10月5日11:13:08

环境：Windows 7 / Python 3.7.2